5  Taller Seguros

6 Preparación de datos y parámetros

library(readxl)
qx_mujeres <- read_excel("qx-hombres-y-mujeres.xls",
                         sheet = "Asegurados - Muj",
                         col_types = c("numeric","numeric"))

edades <- qx_mujeres$X
qx     <- qx_mujeres$qx

i  <- 0.10     # tasa efectiva anual bruta
r  <- 0.0788   # inflación anual proyectada
v  <- 1/(1+i)

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6.1 1. Prima entera con fraccionamiento eficiente

Fórmulas:

• Tasa efectiva mensual:

  \[ i_{(12)} = 12\bigl((1+i)^{1/12}-1\bigr) \]

• Tablas de vida: \(\displaystyle l_{x+1} = l_x\,(1 - q_x),\quad l_0 = 100\,000.\)

• Valores descontados:

  \[ D_x = v^x\,l_x,\quad C_x = D_x\,v\,q_x \]

• Momentos decrecientes:

  \[ M_x = \sum_{j=x}^n C_j,\quad R_x = \sum_{j=x}^n M_j \]

• Anualidad entera:

  \[ A_x = \frac{M_x}{D_x},\quad \ddot{A}_x = \frac{R_x}{D_x} \]

• Prima fraccionaria eficiente:

  \[ \pi_x = \frac{i}{i_{(12)}}\Bigl(A_x \;+\; r\,(\ddot{A}_x - A_x)\Bigr). \]

calcular_primas_entero_fracc_efficient <- function(qx, VA, m) {
  i_m <- m * ((1 + i)^(1/m) - 1)
  n   <- length(qx)
  
  # l_x
  lx <- numeric(n); lx[1] <- 100000
  for(k in 1:(n-1)) lx[k+1] <- lx[k] * (1 - qx[k])

  Dx   <- v^edades * lx
  Cx   <- Dx * v * qx
  Mx   <- rev(cumsum(rev(Cx)))
  Rx   <- rev(cumsum(rev(Mx)))
  Ax   <- Mx / Dx
  IA_x <- Rx / Dx
  
  prima <- (i / i_m) * (Ax + r * (IA_x - Ax))
  
  data.frame(
    edad   = edades,
    qx     = qx,
    Ax     = round(Ax,     6),
    prima  = round(prima*VA, 6)
  )
}

Uso: esta prima combina valor presente de pagos y ajuste por inflación fraccional.

prima_entera_aritmetica_frac <- calcular_primas_entero_fracc_efficient(
  qx, VA = 500000000, m = 12
)

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6.2 2. Prima SAE fraccionaria

Fórmulas adicionales:

• Corrección SAE (fraccional):

  \[ \pi_x^{\mathrm{SAE}} = \frac{i}{i_{(12)}}\bigl(A_x + r(\ddot{A}_x - A_x)\bigr) \;+\; r\,\frac{i - i_{(12)}}{i_{(12)}^2}\,A_x. \]

calcular_primas_SAE_fracc <- function(qx, VA, m) {
  n  <- length(qx)
  im <- m * ((1 + i)^(1/m) - 1)
  
  lx <- numeric(n); lx[1] <- 100000
  for(k in 1:(n-1)) lx[k+1] <- lx[k] * (1 - qx[k])

  Dx   <- v^edades * lx
  Cx   <- Dx * v * qx
  Mx   <- rev(cumsum(rev(Cx)))
  Rx   <- rev(cumsum(rev(Mx)))
  Ax   <- Mx / Dx
  IA_x <- Rx / Dx

  prima_SAE <- (i / im) * (Ax + r * (IA_x - Ax)) +
               (r * ((i - im) / im^2) * Ax)
  
  data.frame(
    edad  = edades,
    qx    = qx,
    Ax    = round(Ax, 6),
    prima = round(prima_SAE * VA, 6)
  )
}

Interpretación: se añade término corrector de nivel para SAE.

prima_entera_aritmetica_frac_m <- calcular_primas_SAE_fracc(
  qx, VA = 500000000, m = 12
)

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6.3 3. Prima con crecimiento geométrico

Fórmulas:

• Tasa real efectiva:

  \[ e = \frac{1+i}{1+r} - 1,\quad v_e = \frac{1}{1+e}. \]

• Valores descontados real:

  \[ D_x^{(e)}=v_e^x\,l_x,\quad C_x^{(e)}=D_x^{(e)}\,v_e\,q_x. \]

• Anualidad real:

  \[ A_x^{(e)}=\frac{\sum_{j=x}^n C_j^{(e)}}{D_x^{(e)}}. \]

• Prima geométrica:

  \[ \pi_x = \frac{i}{i_{(12)}}\,\frac{A_x^{(e)}}{1+r}. \]

e  <- (1 + i)/(1 + r) - 1
Ve <- 1 / (1 + e)

calcular_primas_geom_creciente <- function(qx, VA, m) {
  n   <- length(qx)
  i_m <- m * ((1 + i)^(1/m) - 1)
  
  lx <- numeric(n); lx[1] <- 100000
  for(k in 1:(n-1)) lx[k+1] <- lx[k] * (1 - qx[k])

  Dx_e   <- Ve^edades * lx
  Cx_e   <- Dx_e * Ve * qx
  Mx_e   <- rev(cumsum(rev(Cx_e)))
  Ax_e   <- Mx_e / Dx_e

  prima <- (i / i_m) * Ax_e / (1 + r)
  
  data.frame(
    edad   = edades,
    qx     = qx,
    Ax_e   = round(Ax_e, 6),
    prima  = round(prima * VA, 6)
  )
}

Uso: interesante para seguros reajustados solo por inflación.

prima_geometrica_frac <- calcular_primas_geom_creciente(
  qx, VA = 500000000, m = 12
)

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6.4 4. Comparación de crecimientos del valor asegurado

No hay función aquí; se grafica:

• Aritmético fraccional: \(1 + r\,(k-1)/m\).
• Aritmético anual: \(1 + r\,(t-edad_{start}-1)\).
• Geométrico anual: \((1+r)^{t-edad_{start}-1}\).

r           <- 0.0788;  m <- 12
edad_inicio <- 20;     edad_fin <- 50

ed_int <- (edad_inicio+1):edad_fin
benef2 <- 1 + r*(ed_int-(edad_inicio+1))

k       <- 1:((edad_fin-edad_inicio)*m)
ti      <- edad_inicio + k/m
benef1  <- 1 + r*((k-1)/m)
benef3  <- (1+r)^(ed_int-(edad_inicio+1))

plot(ti, benef1, type="l", col=1, lwd=2,
     ylim=c(0,max(benef1,benef2,benef3)),
     xlab="Edad", ylab="Beneficio",
     main="Crecimiento del valor asegurado")
lines(ed_int, benef2, col=2, lwd=2)
lines(ed_int, benef3, col=3, lwd=2)
legend("topleft",
       legend=c("Aritmético fracc.","Aritmético anual","Geométrico"),
       col=1:3, lwd=2, bty="n")

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6.5 5. Tabla comparativa de primas

VA <- 500000000; m <- 12
aritm   <- calcular_primas_entero_fracc_efficient(qx, VA, m)
aritm_m <- calcular_primas_SAE_fracc(qx, VA, m)
geom    <- calcular_primas_geom_creciente(qx, VA, m)

tabla_comparativa <- data.frame(
  Edad                  = edades,
  Seguro1_Aritmético    = aritm$prima,
  Seguro2_Aritmético_m  = aritm_m$prima,
  Seguro3_Geométrico    = geom$prima
)